Mathématiques 1 - 3XMI0115

Objectif(s)

Algèbre linéaire : 23h
Objectif : développer la démarche de modélisation mathématiques ; connaitre et savoir utiliser le calcul matriciel ; résoudre des problèmes issus de différents domaines (comme l’économie, la biologie, la physique, …) au moyen des outils de l’algèbre linéaire (systèmes linéaires, calcul matriciel, diagonalisation).

Optimisation : 13h
Objectif : travailler la démarche de modélisation mathématique dans le cadre de problèmes d’optimisation ; connaitre et utiliser les outils de l’Analyse mathématique pour résoudre de tels problèmes.

Equations différentielles et utilisation la transformation de Laplace : 22 h
Objectif : étudier des problèmes donnant lieu à des équations différentielles ; connaitre les méthodes de résolution des équations différentielles linéaires (1er et 2nd ordre) ; connaitre les propriétés de la transformation de Laplace et savoir les utiliser ; utiliser la transformation dans le cadre de la résolution d’équations différentielles.

Contenu(s)

Algèbre linéaire : 23h

Calcul matriciel :

• Systèmes d’équations linéaires : résolution d’un système d’équations linéaires (n?p), méthode du pivot de Gauss ;
• Calcul matriciel : opérations élémentaires ; produit matriciel ; puissances d’une matrice; matrice identité ; écriture matricielle des systèmes d’équations linéaires
• Déterminant d’une matrice : méthode pour calculer des déterminants de matrices 2?2 et 3?3 ; déterminants et opérations élémentaires ; méthode des cofacteurs ; calcul de l’inverse d’une matrice (cas 2x2 et 3x3)
• Diagonalisation des matrices, étude des cas 2x2 et 3x3

Modélisation et résolutions de problèmes :

• Modélisation de problèmes par des systèmes linéaires et des systèmes dynamiques, et interprétation des solutions trouvées (exemple : études de matrices de population).
• Une attention particulière sera portée sur les étapes de modélisation et l’interprétation des solutions.

Optimisation : 13h

Extrema de fonction :

• Fonctions réelles à variable réelle.
• Fonctions réelles de deux variables réelles
  Problème de modélisation et d’optimisation :
• Résolution de problèmes d’optimisation (à une ou deux variables, libre et sous contrainte) issus de différents domaines (biologie, économie, sciences physiques). Une attention particulière sera portée sur la démarche de modélisation de ces problèmes et sur l’interprétation des solutions.

Equations différentielles et utilisation la transformation de Laplace : 22 h

Equations différentielles

• Présentation des équations différentielles
• Méthodes de résolution des équations linéaires du premier ordre et des équations linéaires du second ordre à coefficients constants
  Transformation de Laplace
• Transformation de Laplace : définition et propriétés ; transformées usuelles
• Transformation de Laplace pour la résolution d’équations différentielles.

Examen 1 : 3h

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